BLOG MATEMATYCZNY lekcje porady korepetycje

Aleksandra Kocot

Średnie prędkości

Photo by Ed Yourdon

Średnią arytmetyczną każdy zna. A czy każdy wie, że średnią prędkość liczy się inaczej niż średnią ocen?

Średnia harmoniczna, którą należy tu wykorzystać, jest odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności liczb, których średnią liczymy. Czyli ma postać:

\displaystyle \ H=\frac{n} {\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}

Jest z tego względu przydatna do liczenia średnich, kiedy liczby mają postać stosunku jednej wartości do drugiej, na przykład kilometry na godzinę (km/h), ale też ilość przeczytanych książek na rok czy sprzedane kawy na dzień, gdy znamy też całkowitą liczbę przebytych kilometrów, przeczytanych książek, czy sprzedanych filiżanek kawy.

Jej użycie w przypadku prędkości i innych wielkości będących stosunkiem nie jest zatem regułą i warto być tutaj ostrożnym. Tak samo jak w niektórych przypadkach nie możemy użyć średniej arytmetycznej, w innych średnia harmoniczna nie będzie wskazana.

Sztandarowym zadaniem na użycie średniej harmonicznej jest zadanie typu: „oblicz średnią prędkość pojazdu jeśli pierwsza połowa trasy pokonana była z prędkością A natomiast druga połowa z prędkością B”. Tutaj użycie średniej harmonicznej jest jak najbardziej wskazane. Nie możemy liczyć prostej średniej arytmetycznej A i B, gdyż jeśli tylko A i B są różne, to wtedy pojazd przejechał pierwszą połowę w innym czasie niż drugą. Jeśli już bardzo chcemy liczyć średnią arytmetyczną to może to być tutaj średnia arytmetyczna ważona. Wagami będą wtedy czasy potrzebne do przebycia pierwszej i drugiej połowy trasy.

Przykład

Biegacz biegł pierwsze 5 km z prędkością 15 km/h, zmęczył się tym bardzo i kolejne 5 km przebiegł z prędkością już tylko 5km/h. Jaka była średnia prędkość biegacza?

Rozwiązanie zacznę od uwagi czym jest prędkość średnia. Chodzi tu bowiem o taką prędkość, z którą można pokonać tą samą trasę w tym samym czasie nie zmieniając tej prędkości. W naszym przypadku jest to 10km pokonane w 1 i 1/3h (5km : 15km/h + 5km : 5km /h), czyli będzie to 10km : 4/3h = 7,5km/h

Zobaczmy, że licząc średnią harmoniczną (H) otrzymamy taki właśnie wynik, ale już nie licząc średnią arytmetyczną (A) :
\displaystyle \ H=\frac{2} {\frac{1}{5km/h}+...+\frac{1}{15km/h}}=7,5km/h
\displaystyle \ A=\frac{5km/h + 15km/h}{2}=10km/h

Na co trzeba uważać?    

Rozwiązanie nie będzie takie proste jeśli część trasy jaką przebiegł biegacz z prędkością 15km/h stanowiła 10% trasy, czyli w naszym przypadku 1km, a pozostałe 9km z prędkością 5km/h. Teraz musimy już użyć średniej harmonicznej ważonej z wagami 1 dla prędkości 15km/h i 9 dla 5km/h.

Minuty na kilometr

Kolejną pułapką jest wyrażanie prędkości przez biegaczy w minutach na kilometr (min/km). Wtedy 15km/h to 4min/km, a 5km/h to 12min/h. Jeśli wiemy, tak jak w naszym przykładzie, że to połowa trasy (a nie czasu) była przebyta z pierwszą prędkością, a druga z drugą, to tutaj możemy użyć prostej średniej arytmetycznej otrzymując po prostu 8min/km, co stanowi obliczone wcześniej 7,5 km/h. W tym przypadku liczenie prostej średniej harmonicznej będzie błędem! Otrzymamy wtedy bowiem 6min/km, co nie jest prawdą.

Advertisements

4 comments on “Średnie prędkości

  1. Pingback: Jogging around the reservoir #1 | How to Lose Weight With Paleo Diet

  2. Pingback: Latest Christian Weight Loss Programs News - WeightLoss.A1Healthy.com

  3. Pingback: Meal replacement weight loss photos | Lose Weight Fast and Safely

  4. Pingback: Health, Wealth, Happiness – Social Relationship

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s

Information

This entry was posted on 6 czerwca 2012 by in POZIOM LICEUM, POZIOM STUDIÓW.
%d blogerów lubi to: