BLOG MATEMATYCZNY lekcje porady korepetycje

Aleksandra Kocot

Co w trawie piszczy? Czyli liczby Fibonacciego na łące

Photo by mwri

Mam nadzieje, że nikomu to nie zepsuje wakacji, ale chciałam dziś napisać, że całkiem sporo matematyki możemy zaobserwować wylegując się na łące. Jeśli trochę się rozejrzymy, to na pewno uda się nam znaleźć roślinę, która ma wiele łodyżek, albo kwiaty, które mają zawsze dokładnie pięć płatków, albo jakiegoś ślimaka wędrującego ze swoją muszelką, albo też wielkie słoneczniki, których nasiona układają się w spiralę. Wszystkie te łąkowe zjawiska, a dokładniej liczba łodyżek roślinki, długości odcinków w pięciokącie foremnym jaki tworzą płatki kwiatów, czy spirala jaką tworzy muszla ślimaka i pestki słonecznika to przykłady liczb Fibonacciego i ich własności.

Liczby Fibonacciego, jak się zaraz przekonamy, to nie żadna wyższa matematyka. Każda kolejna to po prostu suma dwóch poprzednich, zaczynając od dwóch jedynek. Poniżej wyjaśnię to dokładniej.

Zacznijmy od roślinki w kształcie drzewa. Załóżmy, że nowe łodyżki pojawiają się na niej dokładnie co miesiąc, ale tylko na tych łodygach, które są już dostatecznie grube. Umówmy się, że łodygi są dostatecznie grube pod dwóch miesiącach od pojawiania się i dopiero wtedy  zaczynają regularnie wypuszczać nowe łodyżki.

Teraz, wiedząc już, kiedy pojawiają się nowe łodyżki, możemy się zastanowić ile miesięcy rośnie już nasza roślina jeśli doliczyliśmy się, na przykład, 13-stu kwiatów, z których każdy rośnie na jednej łodyżce? Oczywiście zakładamy, że żadna łodyga nie uschła, ani nikt jej nie urwał i na każdej jest kwiatek. Taka właśnie roślina przedstawiona jest na poniższym obrazku.

Photo by grass9998

Przez pierwsze dwa miesiące roślina była tylko jedną łodygą (przez pierwszy miesiąc jeszcze nie było jej widać), trzeciego miesiąca pojawiła się druga mała łodyżka, a czwartego jeszcze jedna. Każda linia na rysunku to jeden miesiąc i jednocześnie czas kiedy dostatecznie dojrzałe łodygi wypuszczały nową łodyżkę. Łatwo można policzyć, że linii jest 7. Czyli nasza roślinka ma 7 miesięcy.

Ile byłoby kwiatów, gdyby roślina rosła jeszcze miesiąc dłużej i wypuściła nowe łodyżki? Pierwsza myśl to 26, czyli 2 x 13, ale to nie jest dobra odpowiedź. Niektóre z łodyżek są przecież jeszcze zbyt młode. Nowe łodyżki pojawią się tylko na tych łodygach, które wyrosły już miesiąc wcześniej, czyli dokładnie na 8 (przedostatnia linia). Zatem do 13 – stu łodyg, które mamy teraz powinniśmy dodać jeszcze 8 nowych. Zatem, gdyby roślina rosła miesiąc dłużej miałaby 21  kwiatów.

Zastanówmy się teraz na jakiej zasadzie liczymy ilość kwiatów w kolejnych miesiącach. Zsumowaliśmy liczbę łodyg z obecnego miesiąca z liczbą łodyg jakie miała roślina miesiąc wcześniej. Okazuje się, że taka zasada obowiązuje przez całe życie rośliny.

Pierwszy miesiąc    to   1-na łodyga

Drugi miesiąc           to   1-na łodyga

Trzeci miesiąc          to   2-ie łodygi

Czwarty miesiąc      to   3 łodygi

Piąty miesiąc            to   5 łodyg

Szósty miesiąc         to    8 łodyg

Siódmy miesiąc       to   13 łodyg

Ósmy miesiąc           to   21 łodyg

I tak dalej…

Czas na prawdziwą matematykę, czyli na wzór, który opisuje to ile roślina ma łodyżek po danej liczbie miesięcy. Powiedzieliśmy już, że liczba łodyżek w kolejnym miesiącu to suma liczby łodyżek z obecnego miesiąca z liczbą łodyżek w miesiącu poprzednim.

Czyli, zaczynając od pierwszego miesiąca życia rośliny, mamy:

F1 = 1  (liczba początkowa, jeszcze nie sumujemy niczego, bo roślina nie istniała miesiąc wcześniej)

F2 = 1 (druga liczba początkowa)

Fn = Fn-1 + Fn-2  (Każda kolejna liczba powstaje z sumy dwóch poprzednich, czyli np. F5 = F4 + F3)

Przyjmujemy oznaczenia F1, F2, … od pierwszej litery nazwiska Włocha, Leonarda Fibonacciego, który w już XIII wieku opisał tą zależność. Liczby te nazywamy liczbami Fibonacciego.

Pięciokąty foremne i złota liczba

Okazuje się, że nie tylko matematycy lubią zajmować się liczbami Fibonacciego. Zwrócili na nie uwagę też architekci, malarze, twórcy sztuki użytkowej i nawet analitycy giełdowi. Szukając ich w coraz to nowych miejscach zauważono, że także same kwiaty mają z nimi coś wspólnego, a dokładniej pięciokąty foremne jakie tworzą płatki większości kwiatów.

Nie chodzi tutaj o same liczby Fibonacciego, ale o stosunek dwóch kolejnych liczb Fibonacciego. Nie jest to liczba stała (1:1=1, 1:2=0,5, 2:3=0,666…), ale okazuje się, że dzieląc tak coraz większe liczby dochodzimy do liczby 0,618034…, która jest liczbą niewymierną. Co to za liczba? Czy można ją jakoś opisać w inny sposób? Może to pierwiastek z jakiejś liczby naturalnej?

Czym jest to tajemnicze 0,618034… możemy przekonać się przedstawiając liczby Fibonacciego jako kwadraty i budując z nich prostokąt. Każdy kolejny kwadrat będzie miał bok o długości kolejnej liczby Fibonacciego. Ustawiając te kwadraty obok siebie dostajemy prostokąt:

Dodając tak nieskończenie wiele nowych kwadratów otrzymamy prostokąt, którego stosunek krótszego boku do dłuższego będzie wynosił dokładnie 0,618034… .

Jakie własności ma taki prostokąt, zwany złotym prostokątem? Oprócz tego, że jest bardzo często wykorzystywany przez ludzi, gdyż wydaje się mieć idealne proporcje, ma też pewną matematyczną własność wynikającą ze sposobu w jaki został skonstruowany. Chodzi o to, że dekonstruując, go, czyli odcinając największy kwadrat jakie się w nim zmieści, dostaniemy prostokąt, który ma także taką własność, że stosunek jego krótszego boku do dłuższego ma dokładnie tyle samo co stosunek odpowiednich boków prostokąta przed odcięciem kwadratu. Musi tak być, żeby można była tak odcinać w nieskończoność. Złoty prostokąt powstał przecież z nieskończonej ilości kwadratów. (Nie trzeba się przejmować, że to niemożliwe, matematyka po prostu jest niemożliwa… aż dziwne, że znajduje jakieś zastosowania).

Czyli, po przemnożeniu przez 1+x, mamy: x2+x-1=0.

Dodatnie rozwiązanie tego równania kwadratowego to (sqrt(5)-1)/2

I to właśnie jest dokładnie 0,61834… .

Wracając do kwiatków i ślimaków, to okazuje się, że można łatwo odnaleźć u nich złotą proporcję.

W pięciokącie foremnym stosunek boku do przekątnej jest równa złotej proporcji.

Spirala muszli ślimaka jest natomiast sklejką łuków będących ćwiartkami okręgów o promieniach kolejnych liczb Fibonacciego.

Photo by kibuyu

Bibliografia:

Lines, M. E. (1995). Liczby wokół nas. Od liczb Fibonacciego, gier hazardowych, statystyki w sporcie, poprzez kryptografie, zagadnienia NP, fraktale, do chaosu. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s

Information

This entry was posted on 14 lipca 2012 by in POZIOM LICEUM, POZIOM STUDIÓW.
%d blogerów lubi to: